Question

已知等比数列满足，公比．

（1）求数列的通项公式与前项和；

（2）设，求数列的前项和；

（3）若对于任意的正整数，都有成立，求实数的取值范围．

Answer

（1），；（2）；（3）.

【解析】

试题分析：（1）将两个已知条件用来表示，联立方程组解得，所以，利用前项和公式求得；（2）先化简，，利用裂项求和法求得；（3）要使恒成立，只需，即，解得或.

试题解析：

（1）由题设知，，又因为，解得：

，故，前项和；

（2），所以，

所以

，

（3）要使恒成立，只需，即，解得或，∴范围是．

考点：等比数列的基本性质，数列求和的基本方法，不等式.

【方法点晴】本题主要考查等比数列的基本性质，考查数列求和的基本方法，不等式.第一问求数列的通项公式，采用的是基本元的思想，也就是等比数列就将条件化为，等差数列就化为，然后联立方程组求出基本元，进而求出数列的通项公式.第二第三问先化简，这是裂项求和法，求和之后是恒成立问题，采用分离常数法来求解.