Question

已知函数．

（1）当时，求函数在区间上的最大值与最小值；

（2）若在上存在，使得成立，求的取值范围．

Answer

（1），；（2）.

【解析】

试题分析：（1）由得增区间，得减区间，进而得，比较端点处函数值可得；（2）只需要函数在上的最小值小于零，利用导数研究的单调性，讨论三种情况，分别求得的最小值，进而分别求得的取值范围，求并集即可.

试题解析：（1）当时，，

，

令，得，

当变化时，，的变化情况如下表：

1

0

极小值

因为，，

，

所以在区间上的最大值与最小值分别为：

，．

（2）设．若在上存在，使得，即成立，则只需要函数在上的最小值小于零．

又，

令，得（舍去）或．

①当，即时，在上单调递减，

故在上的最小值为，由，可得．

因为，所以．

②当，即时，在上单调递增，

故在上的最小值为，由，

可得（满足）．

③当，即时，在上单调递减，在上单调递增，故在上的最小值为．

因为，所以，

所以，即，不满足题意，舍去．

综上可得或，

所以实数的取值范围为．

考点：1、利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值；2、不等式成立问题.

【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值、不等式成立问题，属于难题．利用导数研究函数的单调性进一步求函数最值的步骤：①确定函数的定义域；②对求导；③令，解不等式得的范围就是递增区间；令，解不等式得的范围就是递减区间；④根据单调性求函数的极值及最值（闭区间上还要注意比较端点处函数值的大小）.