Question

已知函数.

（1）若在点处的切线方程为，求的值；

（2）若，是函数的两个极值点，求证：.

Answer

（1），；（2）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）借助题设条件建立方程组推证；（2）借助题设构造函数运用导数的有关知识推证探求.

试题解析：

（1）根据题意可求得切点，由题意可得，，

∴，即，解得，.

（2）证明：∵，∴，则.

根据题意可得在上有两个不同的根，

即，解得，且，.

∴.

令，则，

令，则当时，，

∴在上为减函数，即，，

∴在上为减函数，即，

∴，

又∵，，

∴，即，

∴.

考点：导数在研究函数的单调性最值等有关知识的综合运用．

【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是以含参数的函数解析式为背景,考查的是导数知识在研究函数单调性和极值等方面的综合运用和分析问题解决问题的能力.本题的第一问是求函数解析式中的参数的问题,求解时直接导数的几何意义建立方程组,求出了，；第二问运用题设得到

,然后通过构造函数,再借助导数知识运用转化与化归的数学思想使得不等式获证.本题具有一定的难度和区分度,是一道难得的好题.