Question

设椭圆的焦点为，过右焦点的直线与相交于两点，若的周长为短轴长的倍.

（1）求的离心率；

（2）设的斜率为1，在上是否存在一点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）；（2）不存在点，使得.

【解析】

试题分析：（1）借助题设条件建立方程求解；（2）借助题设条件运用直线与椭圆的位置关系,借助坐标之间的关系推证探求.

试题解析：

（1）∵，即，∴.

（2）设椭圆方程，直线方程为，代入得，

设，则，，设，则，

由得，代入得，

即，又∵，

无解，所以不存在点，使得.

考点：椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系等有关知识的综合运用．

【易错点晴】本题是一道考查直线与椭圆的位置关系的综合问题.解答本题的第一问时,直接依据题设条件运用已知条件建立方程，即,求得椭圆的离心率为;第二问的求解过程中,先将直线的方程设为,然后代入椭圆方程消去变量得到以为主元的二次方程,进而借助韦达定理可得，.再依据构建方程组,最后确定无解,使得问题获解.