Question

已知函数．

（1）当时，讨论的单调性；

（2）若对任意的恒有成立，求实数的取值范围．

Answer

（1）当时，递减区间为，当时，递减区间为，递增区间为，当时，递减区间为，递增区间为；（2）．

【解析】

试题分析：（1）求出函数的导数，通过讨论的范围，确定导函数的符号，从而求出函数的单调区间；（2）问题转化为恒成立，根据函数的单调性求出的值，从而求出的取值范围．

试题解析：（1），令，得，

当时，，函数的定义域单调递减；

当时，在区间上，单调递减，在区间上，单调递增；当时，在区间上，单调递减，在区间上，单调递增．

故当时，递减区间为；

当时，递减区间为，递增区间为；

当时，递减区间为，递增区间为．

（2）由（1）知当时，函数在区间单调递减，

所以当时，，

问题等价于：对任意的，恒有成立，

即，因为，∴，所以实数的取值范围是．

考点：导数在研究函数的单调性最值等方面的运用．

【易错点晴】函数是高中数学的核心内容,也是高考必考的重要考点．运用导数这一工具研究函数的单调性和极值最值等问题是高考的基本题型．解答这类问题时,一定要先求导,再对求导后的导函数的解析式进行变形（因式分解或配方）,其目的是搞清求导后所得到的导函数的值的符号,以便确定其单调性,这是解答这类问题容易忽视的．