Question

已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）若恒成立，求实数的最大值．

Answer

（1）当时，在上单调递减，当时，在上单调递增，在和上单调递减，当时，在上单调递增，在和上单调递减；（2）．

【解析】

试题分析：（1）求出函数的导数，通过讨论的范围，确定导函数的符号，从而求出函数的单调区间；（2）问题转化为恒成立，令，即，根据函数的单调性求出的最小值，从而求出的最大值．

试题解析：（1），

，

①当时，，∴在上单调递减；

②当，由解得，∴的单调递增区间为，

单调递减区间是和；

③当，同理可得的单调递增区间为，单调递减区间是和．

（2）∵恒成立，∴恒成立，

即恒成立，

令，

∴在上递增，上递减，∴，

∴，

令，

∴在上递增，上递减，

∴，∴，∴实数的最大值为．

考点：1．利用导数求函数的单调性，最值问题；2．利用导数求函数恒成立问题；3．分类讨论思想．

【方法点睛】本题主要考查的是函数的单调性，最值问题，导数的应用以及函数恒成立问题，分类讨论思想，属于难题，讨论函数的单调性时，熟练掌握常见函数的求导公式是关键，求出导函数的零点，分别讨论参数的范围得到函数的单调区间，对于含参的不等式恒成立问题，常见的方法就是分离主参，构造一个新的函数，讨论新的函数的单调性，求也最值，即可求出参数的取值范围，熟练掌握常见函数的求导公式是解决此类问题的关键．