Question

已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，右焦点到右顶点的距离为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）是否存在与椭圆交于两点的直线，使得成立？若存在，求出实数的取值范围，若不存在，请说明理由．

Answer

（1）；（2）存在，．

【解析】

试题分析：（1）由已知条件推导出，，由此能求出椭圆的标准方程；（2）直线与椭圆方程联立方程，得到关于的一元二次方程，由根的判别式和韦达定理结合已知条件能求出实数的取值范围．

试题解析：（1）设椭圆的方程为，半焦距为．依题意，

由右焦点到右顶点的距离为，得解得．所以，所以椭圆的标准方程是．

（2）【解析】
存在直线，使得成立．理由如下：

由得．

，化简得．

设，则．

若，所以，，

，，

化简得，，将代入中，，

解得．又由，，

从而，或，所以实数的取值范围是．

考点：1．韦达定理应用；2．直线与圆锥曲线的综合应用．

【方法点睛】本题主要考查的是椭圆的标准方程的求法，满足条件的直线方程是否存在的判断，属于中档题，在解决此类问题，要认真审题，注意挖掘题设中隐含条件，合理地加以运用，对待直线与圆锥的综合问题，主要就是设直线的方程，联立方程组，消元得到一个一元二次方程，然后利用韦达定理和根的判别式等条件即可求出其中参数的取值范围，对题设中隐含条件的挖掘，合理的运用韦达定理和根的判别式等条件是解此类题目的关键．