Question

如图，在四棱锥中，底面，，，，点为棱的中点．

（1）证明；

（2）若为棱上一点，满足，求二面角的余弦值．

Answer

（1）证明见解析；（2）．

【解析】

试题分析：（1）以点为原点，分别为轴正方向建立空间直角坐标系，求得,通过向量的数量积即可求解；（2）先根据确定的位置，在求出平面的一个法向量，可证平面的一个法向量，利用空间向量夹角余弦公式即可得到结论．

试题解析：（1）∵底面，，∴以分别为轴正方向建立空间直角坐标系，向量，故，所以．

（2）向量．

由点在棱上，设．

故．

由，得，因此，解得．

即．设为平面的法向量，则

即．不妨令，可得为平面的一个法向量．

取平面的法向量，

则，易知，二面角是锐角，所以其余弦值为．

考点：1．空间直线垂直的判定；2．空间向量夹角余弦公式的应用．