Question

已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）若有两个零点，求的取值范围.

Answer

(1)当时，在单调递减，在单调递增，当时，在单调递增，在单调递减，当时，在单调递增，当时，在单调递增，在单调递减；(2)．

【解析】

试题分析：(1)求出的导数，讨论当，和三种情况分类讨论，根据导数取值的正负，即可求解函数的单调区间；(2)由（1）的单调区间，对讨论，结合单调性和函数值的变化特点，即可求解的取值范围．

试题解析：(1)

(i)设，则当时，；当时，.

所以在单调递减，在单调递增.

(ii)设，由得x=1或x=ln(-2a).

①若，则，所以在单调递增.

②若，则ln(-2a)<1,故当时，；

当时，，所以在单调递增，在单调递减.

③若，则，故当时，，当时，，所以在单调递增，在单调递减.

(2)(i)设，则由(I)知，在单调递减，在单调递增.

又，取b满足b<0且，

则，所以有两个零点.

(ii)设a=0，则所以有一个零点.

(iii)设a<0，若，则由(I)知，在单调递增.

又当时，<0，故不存在两个零点；若，则由(I)知，在单调递减，在单调递增.又当时<0，故不存在两个零点.

综上，a的取值范围为.

考点：利用导数研究函数的单调性；函数的零点判定定理．

【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、函数的零点判定定理，其中解答中涉及到导数的运算、不等式的求解等知识点的考查，解答中求出的导数，讨论当，和三种情况分类讨论是解答关键，着重考查了分类讨论思想和函数与方程思想，以及转化与化归思想，试题有一定的难度，属于难题．