Question

如图，已知正三棱柱ABC－A₁B₁C₁的所有棱长都为2，D为CC₁中点，Ｅ为

BC的中点.

（1）求证：BD⊥平面AB₁E；

（2）求三棱锥C－ABD的体积.

Answer

(1)证明见解析；(2)．

【解析】

试题分析：(1)正方形中，由，证得，由面面垂直的性质定理，证出面，可得，再由线面垂直判定定理即可证出平面；(2)算出，而平面，得三棱锥的体积，从而可得三棱锥的体积．

试题解析：（1）∵棱柱ABC－A1B1C1是正三棱柱，且E为BC的中点，

∴平面ABC⊥平面BCC1B1，又AE⊥BC且AE平面ABC,

∴AE⊥平面BCC1B1 而D为CC1中点，且BD平面BCC1B1

∴ AE⊥BD

由棱长全相等知Rt△BCD≌Rt△B1BE,

即，

故BD⊥B1E, 又AEB1E＝E，

∴BD⊥平面AB1E

（2）

考点：直线与平面垂直的判定与证明；三棱锥的体积．