Question

已知函数，.

（1）当时，求函数在上的极值；

（2）若，求证：当时，.

（参考数据：）

Answer

（1）极小值为，无极大值；（2）证明见解析．

【解析】

试题分析：（1）求得的解析式，求得导数，运用导数大于可得增区间，导数小于，可得减区间，进而得到极值；（2）令，利用导数表示出的最小值，只需说明最小值大于即可，运用导数求得最小值的点，由单调性即可证明．

试题解析：（1），∴，

∴在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以极小值为，无极大值；

（2）构造函数，

∴在区间上单调递增，∵，，

∴在区间上有唯一零点，∴，即，由的单调性，有，

构造函数在区间上单调递减，

∵，∴，

即，∴，∴.

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性与极值．

【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数研究函数的单调性与极值与最值，其中解答中涉及到不等式的求解、构造新函数等知识的综合应用，解答中根据题意构造新函数，求解新函数的单调性与极值（最值）是解答的关键，着重考查了转化与化归思想，以及综合运用知识分析问题和解答问题的能力，此类问题注意认真体会二次求导的应用，平时注重总结和积累，试题有一定的难度，属于难题．