Question

如图，在平面直角坐标系中，已知是椭圆上的一点，从原点向

圆作两条切线，分别交椭圆于点．

（1）若点在第一象限，且直线互相垂直，求圆的方程；

（2）若直线的斜率存在，并记为，求的值；

（3）试问是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．

Answer

（1）；（2）；（3）．

【解析】

试题分析：（1）由圆的方程可知，圆的半径，，由此可求出圆的方程；（2）由已知得直线和都与圆相切，化简可得，再利用点在椭圆上，即可求解的值；（3）当直线不落在坐标轴上时，设，利用直线方程与椭圆的方程联立方程组，得出，同理，由此可求解为定值．

试题解析：（1）由圆的方程知圆的半径，因为直线，互相垂直，且和圆相切，所以，即 ①

又点在椭圆上，所以 ②

联立①②，解得，所以，所求圆的方程为．

（2）因为直线和都与圆相切，所以，，化简得，因为点在椭圆上，所以，即，所以．

（3）方法一（1）当直线，不落在坐标轴上时，设，，

由（2）知，所以，故．因为，在椭圆上，所以，，

即，，所以，

整理得，所以

所以．

方法（二）（1）当直线，不落在坐标轴上时，设，，

联立，解得，，所以，

同理，得．由（2），得，

所以

．

（2）当直线，落在坐标轴上时，显然有．

综上：．

考点：圆的方程；直线与圆锥曲线的综合应用．

【方法点晴】本题主要考查了圆的标准方程的求解，直线与圆锥曲线的综合应用、以及定值的判定与求解，其中涉及到直线与圆相切、点到直线的距离公式的应用等知识点的考查，解答中用直线的方程与圆锥曲线的方程联立，利用根与系数的关系、韦达定理来求解是解答此类问题的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，试题难度较大，属于难题．