Question

已知函数，.

(1)若在处取得极值，求的值；

(2)若在区间上单调递增, 求的取值范围；

(3)讨论函数的零点个数.

Answer

(1) ；(2) ；(3) 当时，函数无零点；当时，函数有一个零点；当时，函数有两个零点.

【解析】

试题分析：（1）求出函数的导数，由题意可得，即可解得，注意检验；（2）由条件可得，≥0在区间上恒成立，运用参数分离，求得右边函数的范围，即可得到的范围；（3）令，则，令，求出导数，求得单调区间和最值，结合图象对讨论，即可判断零点的个数．

试题解析：解: (1)(>0)，

由已知在处取得极值，所以.解得，

在处取得极小值，.

(2)由(1)知，(>0)，

因为在区间上单调递增，所以在区间上恒成立.

即在区间上恒成立，.

(3)因为=，，

令得，令，，

则，

当时，，在区间上单调递增，

当时，，在区间上单调递减，

，

综上：当时，函数无零点；

当时，函数有一个零点；

当时，函数有两个零点.

考点：1.利用导数研究函数的单调性；2.根的存在性及根的个数判断；3.利用导数研究函数的极值．