Question

如图(1)，等腰直角三角形的底边，点在线段上，于，现将沿折起到的位置(如图(2))

(1)求证：；

(2)若，直线与平面所成的角为，求长．

Answer

(1)详见解析；(2)

【解析】

试题分析：(1)根据翻折后仍然与垂直，结合线面垂直的判定定理可得平面，再由线面垂直的性质可得； (2)分别以所在直线为轴、轴、轴，建立如图所示空间直角坐标系．设，可得点关于的坐标形式，从而得到向量坐标，利用垂直向量数量积为的方法建立方程组，解出平面的一个法向量为

，由与平面所成的角为和向量的坐标，建立关于参数的方程，解之即可得到线段的长．

试题解析： (1) .

又平面.

平面，.

(2)由(1)知，且，所以两两垂直.分别以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系.

设，则，，，，可得

.

设平面的法向量为，则

所以，取

直线与平面所成的角为,且，

.

解之得，或(舍去).所以的长为.

考点：1.用空间向量求直线与平面的夹角；2.直线与平面垂直的判定；3.直线与平面所成的角．

【方法点睛】线面所成角的求法：向量法：

如图，设为平面的斜线，为的方向向量，为平面的法向量，为与所成的角，则.