Question

已知函数.

（1）若曲线在处的切线与直线垂直，求实数的值；

（2）若，使得成立，求实数的取值范围.

Answer

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）先求导，再利用可得；（2），使得成立，即函数在上的最小值，分四种情况: , ,,，分别利用导数求出最小值解不等式即可.

试题解析：【解析】
（1）依题意，，故，解得.

（2）依题意，，使得成立，

即函数在上的最小值.

，

当，即时，令，∵，∴，令，∵，∴，

∴的单调增区间为，单调减区间为.

当，即时，恒成立，∴的单调增区间为.

①当，即时，在上单调递减，

∴，∴，∵，∴；

②当，即时，在上单调递增，∴，∴；

③当，即时，∴，

∵，∴，∴，此时不存在，使成立.

综上可得所求的范围为.

考点：1、导数的几何意义；2、利用导数研究函数的单调性及求最值；3、不等式恒成立问题.

【方法点睛】本题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性及求最值、不等式恒成立问题，属于难题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1)已知切点求斜率,即求该点处的导数；(2)已知斜率求切点即解方程；(3)已知切线过某点(不是切点) 求切点, 设出切点利用求解.