Question

已知函数,且函数在处的切线平行于直线.

（1）求实数的值;

（2）若在上存在一点,使得成立.求实数的取值范围.

Answer

（1）（2）或.

【解析】

试题分析：（1）由导数几何意义得所以求导数列式得（2）本题不宜分离，因此作差构造函数，利用分类讨论法求函数最小值：由于，所以讨论与1，e的大小，分三种情况：当时,的最小值为,当时,的最小值为,当时,的最小值为，解对应不等式即得.

试题解析：（1）的定义域为,函数在处的切线平行于直线..

（2）若在上存在一点,使得成立,构造函数在上的最小值小于零.,

①当时,即时,在上单调递减,所以的最小值为,由可得,;

②当时,即时,在上单调递增,所以的最小值为,由可得;

③当时,即时,可得的最小值为,此时,不成立.综上所述:可得所求的范围是或.

考点：导数几何意义,利用导数研究不等式存在性问题

【思路点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.