Question

已知椭圆的离心率,直线与以原点为圆心,椭圆短半轴长为半径的圆相切.

（1）求椭圆的方程;

（2）设椭圆与曲线的交点为,求面积的最大值.

Answer

（1）（2）

【解析】

试题分析：（1）根据直线与圆相切得圆心到直线距离等于半径：，又由离心率得，解得（2）由对称性可知,根据直线与椭圆联立方程组得A点坐标（用K表示），从而，最后根据基本不等式求最值

试题解析：（1）由题设可知,圆的方程为,因为直线与圆相切,有

,已知,所以有,得,

所以椭圆的方程为.

（2）设点,则,设直线交轴于点,由对称性知:.由,解得.当且仅当时,即时取得等号, 所以面积的最大值为.

考点：直线与圆位置关系，直线与椭圆位置关系