Question

如图，公园有一块边长为2的等边三角形的边角地，现修成草坪，图中把草坪分成面积相等的两部分，在上，在上.

（Ⅰ）设,，求用表示的函数关系式；

（Ⅱ）如果是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，的位置应在哪里？如果是参观线路，则希望它最长，的位置又应在哪里？请予以证明.

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）如果是水管，，且.如果是参观线路，为中线或中线

【解析】

试题分析：（Ⅰ）先根据三角形面积求出AE：，即，再根据余弦定理得，最后根据边长限制条件确定定义域：（Ⅱ）由基本不等式可得当且仅当取最小值，由对勾函数值，当且仅当取最大值.

试题解析：（1）在中，①

又②

②代入①得，

∴

（2）如果是水管，

当且仅当，即时“=”成立，故，且.

如果是参观线路，记，

可知函数在上递减，在上递增，

故，∴.

即为中线或中线时，最长.

考点：函数实际应用，基本不等式求最值

【易错点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.