Question

如图，已知椭圆：的左、右焦点分别为、，过点、分别作两条平行直线、交椭圆于点、、、．

（1）求证：；

（2）求四边形面积的最大值．

Answer

（1）证明见解析；（2）的最大值为6

【解析】

试题分析：（1）圆锥曲线中证明两线段相等，一般要用解析法，计算这两条线段的长度得相等结论，直线斜率不可能为0，因此可设设，，：．所代入椭圆方程得出的一元二次方程，从而得，由圆锥曲线上的弦长公式得，同理方程为，并设，，最后计算出，它们相等；（2）原点实质上是平行四边形对角线的交点，而，从而可得，设，因此只要求得的最小值，即可得结论，此最小值可用函数的单调性得出（可先用基本不等式求解，发现基本不等式中等号不能取到）．

试题解析：（1）设，，：．

联立得．

∴，．

设，，由，得：．

联立得．

∴，．

∴，．

∴．

而，，

∴．

（2）由（1）知四边形为平行四边形，，且．

∴

．

设（），，

∴在上单调递增，

∴．

故的最大值为6，此时．

考点：直线与圆锥曲线相交综合问题．

【名师点睛】若直线与椭圆相交于两点，则

，由直线方程与椭圆方程联立方程组消元后，应用韦达定理可得（或），这实质上解析几何中的是“设而不求”法．