Question

如图，四棱锥中，，，△与△都是等边三角形．

（1）证明：平面；

（2）求二面角的平面角的余弦值．

Answer

（1）证明见解析；（2）

【解析】

试题分析：（1）要证明线面垂直，就是要证线线垂直，要证与平面中两条相交直线垂直，由平面几何知识易得，另一条垂线不易找到，考虑到，因此在平面上的射影是的外心，从而是中点，那么可得，第二个垂直也得到了，从而证得结论；

（2）要求二面角，可根据二面角的定义先作二面角的平面角，由已知条件可得，从而，由（1）的结论可得，从而又有平面，因此就是要作的平面角，解三角形可得此角．

试题解析：（1）证明：过作平面于，连．

依题意，则．

又△为，故为的中点．

∵面，∴面面．

在梯形中，，

∴．

∵面面，

∴平面．

（2）由（1）知平面，

又，

∴．

由三垂线定理知．

∴为二面角的平面角，

∴．

考点：线面垂直的判断，二面角．