Question

设，.

（1）令，求的单调区间；

（2）已知在处取得极大值.求实数的取值范围.

Answer

（1）当时，函数单调递增区间为，当时，函数单调递增区间为，单调递减区间为；（2）

【解析】

试题分析：（1）先求出的解析式，然后求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系，即可求出的单调区间；（2）分别讨论的取值范围，根据函数极值的定义，进行验证可得结论.

试题解析：（1），，则，

当时，时，，当时，时，，

时，，所以当时，函数单调递增区间为；

当时，函数单调递增区间为，单调递减区间为.（5分）

（2）由（1）知，.

①当时，时，，时，，

所以在处取得极小值，不合题意.

②当时，，由（1）知在内单调递增，

当时，，时，，所以在处取得极小值，不合题意.

③当时，即时，在内单调递增，在内单调递减，

所以当时，，单调递减，不合题意.

④当时，即，当时，，单调递增，

当时，，单调递减，所以在处取得极大值，合题意.

综上可知，实数的取值范围为.

考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值.

【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值，体现了导数的综合应用，着重考查了函数的单调性、极值和导数的关系，要求熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值，把问题等价转化等是解答的关键，综合性强，难度较大，平时注意解题方法的积累与总结，属于难题.