Question

在平面直角坐标系中，，两点的坐标分别为，，动点满足：直线与直线的斜率之积为.

（1）求动点的轨迹方程；

（2）过点作两条互相垂直的射线，与（1）的轨迹分别交于，两点，求面积的最小值.

Answer

（1）；（2）

【解析】

试题分析：（1）由题意得，利用，即，即可求解椭圆的标准方程；（2）设，，把直线方程与椭圆的方程联立，可得根与系数的关系、弦长关系、点到直线的距离公式，即可求解出三角形的面积表示，在利用基本不等式即可求解面积的最小值.

试题解析：（1）已知，，设动点的坐标，

所以直线的斜率，直线的斜率，

又，所以，即.

（2）设，，直线的方程为，与椭圆联立

消去得，，.

∵，∴，∴.

即，把，

代入得，

整理得，所以到直线的距离.

∵，∴，当且仅当时取“=”号.

由得，∴，

即弦的长度的最小值是.

所以三角形的最小面积为.

考点：椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的位置关系的应用.

【方法点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质、直线与椭圆相交问题的转化为直线与椭圆方程联立可得根与系数的关系、弦长关系、点到直线的距离公式、三角形的面积公式、基本不等式的性质等知识点的综合应用，设计面广，运算量大，属于难题，着重考查了学生的推理与运算能力，此类问题平时要注意积累和总结.