Question

如图，四边形是正方形，平面，分别为的中点.

（1）求证：平面；

（2）求平面与平面所成锐二面角的大小；

（3）在线段上是否存在一点，使直线与直线所成的角为？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）证明见解析；（2）；（3）存在，且

【解析】

试题分析：（1）要证明线面平行，只要证线线平行，由中位线定理易得，注意写出线面平行判定定理的所有条件，都能得出结论；（2）求二面角，图形中有交于同一点的两两相互垂直的三条直线，如，以它们为坐标轴建立空间直角坐标系，可写出图中各点坐标，从而求得平面与平面的法向量，由法向量的夹角可得二面角（本题要求的是锐二面角）；（3）存在性命题，研究性命题，一般假设存在，并设，其中，这样可得出点坐标，由向量和向量的夹角的余弦值的绝对值等于出两异面直线的夹角的余弦，由引可求得（如求不出，说明不存在），进而可得线段长．

试题解析：（1）证明：因为分别为的中点，所以

又平面平面

所以平面；

（2）因为平面

所以平面

所以，又因为四边形是正方形，所以

如图，建立空间直角坐标系，

因为，所以

因为分别为的中点，所以

所以

设为平面的一个法向量，则，即

再令，得

设为平面的一个法向量，则，即

再令，得，所以

所以平面与平面所成锐二面角的大小为；

（3）假设在线段上存在一点，使直线与直线所成角为

依题意可设，其中，由，则

又因为，所以

因为直线与直线所成角为，

所以，即

所以

所以在线段上存在一点，使直线与直线所成角为，此时.

考点：线面平行的判断，二面角，异面直线所成的角．

【名师点睛】求二面角，一种方法是根据定义作出二面角的平面角（必须证明），然后解三角形而得，这对与二面角的棱垂直的直线易知的情况较适用，另一种也是常用的方法是找出图形中两两垂直的交于同一点的三条直线，建立空间直角坐标系，用向量法求二面角，可先求出二面角两个面的法向量，由法向量夹角和二面角的关系得解，这是立体几何中求空间角常用方法，主要是计算，减少了推理过程．