Question

某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为米的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为万元. 假设需要新建n个桥墩.

（1）写出n关于的函数关系式；

（2）试写出关于的函数关系式；

（3）当=640米时，需新建多少个桥墩才能使最小？

Answer

（1）；（2）；（3）.

【解析】

试题分析：（1）这两墩相距米，故需建；（2）费用等于桥墩的费用，加路面工程费用，故，将代入化简得；（3）将代入然后求导，利用导数，可求得当时，取得最小值为.

试题解析：

（1）.

（2）=

（3） 由（1）知，

令，得，所以

当时，在区间内为减函数；

当时，, 在区间内为增函数，

所以在处取得最小值，

此时，

故需新建9个桥墩才能使最小.

考点：应用问题、利用导数求最值．

【方法点晴】这是一个有关实际应用的问题.实际应用问题，我们需要阅读理解清楚题意. 费用等于桥墩的费用，加路面工程费用，这就是题目的突破口，由此就能求得费用的表达式.求出表达式之后就可以利用导数求得最小值了. 求函数的单调区间、极值、最值是统一的，极值是函数的拐点，也是单调区间的划分点，而求函数的最值是在求极值的基础上，通过判断函数的大致图像，从而得到最值.