Question

已知函数，（且）.

（1）求函数的定义域，并证明：在定义域上是奇函数；

（2）对于，恒成立，求的取值范围.

Answer

（1））证明见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）由可得定义域，根据对数的运算法则可证，进而得是奇函数；（2）当时，恒成立等价于在恒成立，得，当时，在恒成立，可得.

试题解析：（1）由，解得或，

∴函数的定义域为.

当时，，

∴在定义域上是奇函数.

（2）由时，恒成立，

①当时，∴对恒成立，

∴在恒成立.

设，

则，

，

∴当时，，

∴在区间上是增函数，.

∴.

②当时，由时，

恒成立，

∴对恒成立.

∴在恒成立.

设，，

由①可知在区间上是增函数，

，∴.

∴的取值范围是.

考点：1、函数的定义域及奇偶性；2、函数单调性及不等式恒成立问题.

【方法点晴】本题主要考查利用导数求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数恒成立（即可）或恒成立（即可）；②数形结合（图象在上方即可）；③讨论最值或恒成立；④讨论参数.本题（2）就是利用方法①求得的范围的.