Question

已知函数．

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）当时，若函数有两个极值点，不等式恒成立，求实数的取值范围．

Answer

（1）函数的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）．

【解析】

试题分析：（1）将代入,对函数求导,解不等式可得,函数的单调增区间,可得函数的单调减区间，要注意结合函数的定义域；（2）当时,利用函数有两极值点可判断出的范围,再导数判断函数的单调性,进而得出函数在处有极大值,处有极小值,将原不等式分离可得,利用构造函数,求出最小值,可得的取值范围.

试题解析：

（1）当时， ；

∴．

又函数的定义域为，

令，解得，

令，解得．

所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为．

（2），

令，则，

当时，，函数在上单调递增，无极值点；

当且，即时，由得，

当变化时，与的变化情况如下表：

0

0

单调递增

极大值

单调递减

极小值

单调递增

当时，函数有两个极值点，则，

．

由可得，

，

令．

，

因为，所以，

，即在递减，

即有，

所以实数的取值范围为．

考点：1.函数的单调性与导数的关系；2.不等式的性质；3.函数的极值.