Question

已知椭圆与轴交于两点，为椭圆的左焦点，且是边长为2等边三角形．

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线与椭圆交于两点，点关于轴的对称点为（与不重合），则直线与轴是否交于一个定点？若是，请写出定点坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由 ．

Answer

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）由所给条件,结合三者关系,可求得.待定系数法得方程；（2）将直线方程与椭圆方程联立,消去,利用韦达定理求出两点的纵坐标关系.进一步写出过两点的直线方程,令得定值,可知过定点点.

试题解析：

（1）依题可得，且，解得，所以椭圆的方程是．

（2）由，消，得，设，则．

且．

经过点的直线方程为．

令，则，

又，故当时，

，

即直线与轴交于定点．

考点：1.椭圆的标准方程与几何性质；2.直线与椭圆的位置关系；3.直线方程.