Question

已知函数．

（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；

（Ⅱ）若对任意恒成立，求实数的取值范围；

（Ⅲ）若，，求证．

Answer

（1）的单调递增区间为（，+∞），单调递减区间为（0，）;（2）;（3）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）时，，求导即可求得函数的单调区间；

（2）对于恒成立问题进行转化，并分离参数。将问题转化为或的形式，利用、的最值求解；

（3）要证联想到证从而联想到函数，结合（1）中函数的单调性来证明。

试题解析：（Ⅰ）当时，，，得．

由，解得，即f（x）在（，+∞）上单调递增；

由，解得，即f（x）在（0，）上单调递减．

∴ 综上，的单调递增区间为（，+∞），单调递减区间为（0，）．

（Ⅱ）已知，于是变形为，从而，即， 整理得． 令，则，即在上是减函数， ∴（）max=（）=．

令，则，当时，，即此时h（x）单调递增；当时，，即此时h（x）单调递减，而（）=（）=， ∴ （）min=． ∴ ．

（Ⅲ）由（Ⅰ）知当时，在上是增函数．

∵ ， ∴，

即，同理．

所以，又因为，当且仅当时，取等号．又，（，），，,

∴，∴ ， ∴．

考点：1、利用导数来判断函数的单调性；2.含参问题的取值范围；3.对数运算性质.

【思路点晴】本题主要考查的是利用导数求函数的单调区间，含参不等式的恒成立问题及对数运算性质与函数单调性相结合问题。属于难题.对于含参不等式问题要注意进行灵活的变形，转化为或的形式，对于不等式证明问题通常借助于函数的单调性进行证明，这里就需要构造函数.