Question

如图，椭圆：（）和圆，已知圆将椭圆的长轴三等分，且圆的面积为.椭圆的下顶点为，过坐标原点且与坐标轴不重合的任意直线与圆相交于点，直线与椭圆的另一个交点分别是点．

（1）求椭圆的方程；

（2）（Ⅰ）设的斜率为，直线斜率为，求的值；

（Ⅱ）求△面积最大时直线的方程．

Answer

（1）；（2）（Ⅰ）5；（Ⅱ）．

【解析】

试题分析：（1）由题可知，且圆的面积为，所以，故，椭圆方程可以求出；

（2）求出直线的斜率，则分别求出点和点的坐标。要求出直线的斜率，则要求出点的坐标；

（3）记点到直线的距离为，则，联立直线的方程和椭圆的方程，再利用弦长公式求出，将问题转化为求解不等式的最值，即可。

试题解析：（1）依题意,则.椭圆方程为.

（2）（Ⅰ）由题意知直线的斜率存在且不为0, ,不妨设直线的斜率为,则:.

由得或,.

用代替,得,则.

由得或, ,则.

（Ⅱ）法一: ；,

设,则,当且仅当时取等号．.

则直线:,所以所求的直线的方程为.

法二:直线的方程: ,即.

可设直线:.由消去得.

,到直线的距离.

设,则

考点：1、直线与圆锥曲线；2、椭圆的标准方程．

【思路点晴】本题主要考查的是椭圆的标准方程、直线的斜率问题、三角形面积最大值问题，属于难题.对于图形观察发现直线过原点，则为圆的一条直径，从而，自然有存在，可设直线的斜率为，且设点在直线上，所以直线的方程为，与椭圆方程联立求得点的坐标，问题就迎刃而解.