Question

如图，四棱柱的底面是菱形，，底面，．

（Ⅰ）证明：平面平面；

（Ⅱ）若，求二面角的余弦值．

Answer

（1）证明见解析；（2）．

【解析】

试题分析：（1）证明，则，从而；

（2）建立空间直角坐标系，利用面，面的法向量，夹角的余弦值可得二面角的余弦值。

试题解析：（Ⅰ）证明：因为平面，平面，所以．

因为是菱形，所以．因为，所以平面．

因为平面，所以平面平面．

（Ⅱ）解 ：因为平面，，以为原点，，，方向为，，轴正方向建立如图所示空间直角坐标系．

因为，，所以，，．

则，，，，

所以，．设平面的法向量为，

因为，，所以令，得．

同理可求得平面的法向量为．所以．

因为二面角的平面角为钝角，所以二面角的余弦值为．

考点：1、二面角的平面角的求法；2、平面向量垂直的判定．