Question

已知是函数的一个极值点，其中，

（1）求与的关系式；        

（2）求的单调区间；

（3）当时，函数的图象上任意一点的切线斜率恒大于，求的取值范围

Answer

（1）（2）在递减，递增，递减（3）

【解析】

试题分析：（1）求出f′（x），因为x=1是函数的极值点，所以得到f'（1）=0求出m与n的关系式；

（2）令f′（x）=0求出函数的极值点，讨论函数的增减性确定函数的单调区间；（3）函数图象上任意一点的切线斜率恒大于3m即f′（x）＞3m代入得到不等式即3m（x-1）[x-（1+）]＞3m，又因为m＜0，分x=1和x≠1，当x≠1时g（t）=t-，求出g（t）的最小值．要使恒成立即要g（t）的最小值＞，解出不等式的解集求出m的范围

试题解析：（1）因为是函数的一个极值点,

所以,即，所以

（2）由（1）知，=

当时，有，当变化时，与的变化如下表：

1

0

0

调调递减

极小值

单调递增

极大值

单调递减

故有，当时，在递减，递增，递减．

（3）由已知得，即又

所以即①

设，其函数开口向上，由题意知①式恒成立，

所以解之得又所以

即的取值范围为

考点：利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性