Question

已知函数.

（1）求的单调区间；

（2）设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围.

Answer

（1）当时，函数的递减区间是，当时，函数的递增区间是，递减区间是；（2）.

【解析】

试题分析：（1）借助导数运用分类整合的思想分类求解;（2）借助题设条件和等价转化的数学思想,运用导数的知识求解.

试题解析：

（1）.

①当时，由，得，，∴函数的递减区间是；

②当时，由得.∴当时，；当时，.

∴函数的递增区间是，递减区间是；

综上，当时，函数的递减区间是；

当时，函数的递增区间是，递减区间是.

（2）依题意，要满足对任意，均存在，使得，

只需满足，

∵，，∴

由（1）知，当时，函数在区间上单调递减，值域为，不符合题意；

（举反例: 取，则，产生矛盾.）

当时，，符合题意；

当时，函数在区间上递增，在区间上递减，

∴，

令，解得；

综上，的取值范围是.

考点：导数的有关知识及综合运用．

【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是以含参数的函数解析式为背景,考查的是导数知识在研究函数单调性和极值等方面的综合运用和分析问题解决问题的能力.本题的第一问求函数的单调区间,解答时先求导再变形分类讨论是本题求解的一大特点；第二问中求参数的取值范围问题.求解时需要先对已知问题进行合理转化为,然后再运用导数的知识将分别求出,建立关于参数的不等式,从而求出其范围是.在这里如何将问题合理转化为是解答本题的关键也是难点.