Question

已知椭圆：的右焦点为，左顶点到点的距离为.

（1）求椭圆的方程；

（2）设过点，斜率为的直线与椭圆交于两点，且与短轴交于点.若与的面积相等，求直线的方程.

Answer

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）借助题设条件运用基本量之间的关系求解；（2）借助题设条件运用等价转化的数学思想建立方程求解.

试题解析：

（1）依题意，，∴，.

∴所求椭圆的方程为.

（2）解法一：设直线的方程为，点.

由消去得：，

，

设，，则.

与的面积相等线段的中点与线段的中点重合.

∴，，

∴所求直线的方程为，即.

解法二：设直线的方程为，点.

由消去得：，

，

设，，则.

与的面积相等线段的中点与线段的中点重合.

∴，，

∴所求直线的方程为或.

考点：直线与椭圆的位置关系等有关知识的综合运用．

【易错点晴】本题是一道考查直线与椭圆的位置关系的综合问题.解答本题的第一问时,直接依据题设条件运用已知条件求出了,求得椭圆的方程为；第二问的求解过程中,先联立方程组建立以交点坐标及参数为变量的关系式,再借助与面积相等将其等价转化为线段的中点与线段的中点重合,建立了方程,然后,求出所求直线的方程,使得问题获解.