Question

如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，经过椭圆的左顶点作斜率为的直线交椭圆于点，交轴于点.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知点为线段的中点， ，并且交椭圆于点.

①是否存在定点，对于任意的都有？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由；

②求的最小值.

Answer

（1）；（2）（i）存在点满足题设；（ii）.

【解析】试题分析：（1）借助题设条件建立方程组求解；（2）依据题设条件运用直线与椭圆的位置关系进行求解.

试题解析：

（1）因为左顶点为，所以，又，所以.

又因为，

所以椭圆的方程为.

（2）（i）因为左顶点为，设直线的方程为，则，消去，得.

所以，解得，

当时， ，

所以，因为点为的中点，所以点的坐标为，

则，

直线的方程为，令，得点的坐标为，

假设存在定点，使得，

则，即恒成立，

所以恒成立，

所以，即，

因此定点的坐标为.

（ii）因为，所以的方程可设为，

由，得点的横坐标为，

由，得

，

当且仅当，即时取等号，

所以当时， 的最小值为.

考点：直线与椭圆等有关知识的综合运用．

【易错点晴】本题是一道考查直线与椭圆的位置关系的综合问题.解答本题的第一问时,直接运用了题设条件中的过点和离心率,解出了；第二问中的问题（1）借助为的中点和,推出了存在定点,使得问题获解具有一定的难度；第二问中的第三问求最小值问题,依据题设条件巧妙地运用了基本不等式使得问题的解答过程简捷明快,值得借鉴.