Question

选修4-1：几何证明选讲

如图所示，是的直径，为延长线上的一点，是的割线，过点作的垂线，交的延长线于点，交的延长线于点．求证：

（Ⅰ）；

（Ⅱ）若，求．

Answer

（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）证明线段成比例，一般利用三角形相似或圆中切割线定理.首先由ADBC，BCEG四点共圆有，，，从而，因此CDFE四点共圆，，进而（Ⅱ）,在直角三角形AFG中，，所以，代入（Ⅰ）即得

试题解析：（Ⅰ）连接，∵是的直径，∴，

∵，∴，

又，∴，

又，∴，

∴，∴、、、四点共圆，

∴，又、、、在上，

∴，∴．

（Ⅱ）∵，又，∴，

又，∴，∴，

∴．

考点：切割线定理，四点共圆

【名师点睛】1.解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路

（1）直接应用相交弦、切割线定理及其推论；（2）当比例式（等积式）中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形→比例式→等积式”．在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握．

2．应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．