Question

如图，正方体中，点是的中点，点是的中点．

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）求证：平面．

Answer

（1）详见解析（2）详见解析

【解析】

试题分析：（1）证明面面垂直，一般利用面面垂直判定定理，即通过线面垂直给予证明，而线面垂直的证明，往往需要利用线面垂直判定及性质定理，经多次转化论证，其中线线垂直有时还需结合平几知识进行寻找或论证，如是正方形，所以再由正方体性质得平面，所以，因而平面，进而平面平面．（2）证明线面平行，一般利用线面平行判定定理，即从线线平行出发给予证明，而线线平行的寻找与论证，一般需结合平几条件，如三角形中位线性质：连交于，则是中点，∵是是中点，∴．

试题解析：（Ⅰ）在正方体中，是正方形，平面，

∴，

∵，平面，

∴平面，

∵平面，∴平面平面．

（Ⅱ）连交于，连，

∵是正方形，∴是中点，

∵是的中点，∴，

∵平面，平面，∴平面．

考点：线面平行判定定理，面面垂直判定定理，

【思想点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.

（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.

（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.

（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.