Question

设函数，其中为正实数．

（Ⅰ）若在上是单调减函数，且在上有最小值，求的取值范围；

（Ⅱ）若函数与都没有零点，求的取值范围．

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）先利用导数转化函数单调问题：在上恒成立，因为，所以；在开区间上有最小值，转化为在开区间上必有极小值，由得，所以，即（Ⅱ）先利用导数研究函数与的单调性，得时，取得最大值，，取得最小值，因此要使函数与都没有零点，只要且，解得

试题解析：（Ⅰ），

∵时，；时，，

∴在上是增函数，在上是减函数，又在上是减函数，∴．

又，∴时，；时，，

∴时，最小，∴时，∴，∴．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知时，取得最大值，，取得最小值，

由题意可得且，

∴∴即．

考点：利用导数研究函数单调性、极值、最值

【方法点睛】利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法

（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解.

（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解.

（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.