Question

已知点与都在椭圆上，直线交轴于点．

（Ⅰ）求椭圆的方程，并求点的坐标；

（Ⅱ）设为原点，点与点关于轴对称，直线交轴于点．问：轴上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．

Answer

（Ⅰ），（Ⅱ）在轴上存在点，使得，且点的坐标为或．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）将两点坐标代入椭圆方程，解方程组得（Ⅱ）求定点问题，一般以算代定. 解几中角的问题，一般转化成坐标问题：，从而确定

试题解析：（Ⅰ）由题意得∴故椭圆的方程为．

直线方程为，与轴交点．

（Ⅱ）因为点与点关于轴对称，所以，

直线的方程为，与轴交于点．

“存在点使得”等价于“存在点使得”，

即满足，∴，∴，

故在轴上存在点，使得，且点的坐标为或．

考点：椭圆方程，定点问题

【思路点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.