Question

如图，正方体中，，点是的中点，点是的中点．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值的大小．

Answer

（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）证明线面平行，一般利用线面平行判定定理，即从线线平行出发给予证明，而线线平行的寻找与论证，一般需结合平几条件，如三角形中位线性质：连交于，则是中点，∵是是中点，∴．（Ⅱ）利用空间向量求二面角，首先利用垂直关系建立恰当的空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解两个平面的法向量，利用向量数量积求夹角，最后根据向量夹角与二面角之间关系得结论

试题解析：（Ⅰ）证明：连交于，连．∵是正方形，∴是中点．

∵是是中点，∴．

∵平面，平面，∴平面．

（Ⅱ）【解析】
分别以、、所在直线为轴建立如图所示空间直角坐标系，

则，

∴，

设平面的一个法向量，

则，即，取得，

同样可求得平面的一个法向量，

，∴二面角的余弦值为

考点：线面平行判定定理，利用空间向量求二面角

【思想点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.

（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.

（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.

（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.