Question

已知函数．

（1）若且在处取得极值，求实数的值及单调区间；

（2）若，对恒成立，求的取值范围；

（3）若且在上存在零点，求的取值范围．

Answer

（1），的单调递增区间为和，单调递减区间为

（2），（3）；

【解析】

试题分析：（1）若，则，

由得，故，

当或时，，单调递增，

当时，，单调递减，

所以的单调递增区间为和，单调递减区间为．

（2）当时，，

令易知在上有且仅有一个零点设为，

则当时，，即，故在单调递减，

当时，，即，故在单调递增，

所以，

又即，

依题意即，

易知在单调递增，

且，故，

又随增大而减小

所以．

说明：此题若用分离参数法同样给分．

（3）在存在零点，

在上有解在上有解，

又即，

故即在上有解

令，

则，

①当时，，故有解，

②当时，易知在上单调递减，在单调递增，

所以，

所以，

综上