Question

已知函数，其中函数的图象在点处的切线平行于轴．

（1）确定与的关系；

（2）若，试讨论函数的单调性．

Answer

（1），（2）当时，函数在上单调递增，在上单调递减；

当时，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；

当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递增，

在上单调递减，在上单调递增．

【解析】

试题分析：（1）依题意得，

则．

由函数的图象在点处的切线平行于轴得：，∴．

（2）由（1）得．

∵函数的定义域为，

∴当时，．

由，得，由，得，

当时，令，得或，

若，即，

由，得或，

由，得；

若，即，

由，得或，

由，得．

若，即，在上恒有．

综上可得：当时，函数在上单调递增，在上单调递减；

当时，函数在上单调递增，

在上单调递减，在上单调递增；

当时，函数在上单调递增；

当时，函数在上单调递增，

在上单调递减，在上单调递增．