Question

已知函数．

（1）若函数在上是增函数，求实数的取值范围；

（2）求所有的实数，使得对任意时，函数的图象恒在函数图象的下方；

（3）若存在，使得关于的方程有三个不相等的实数根，求实数的取值范围．

Answer

（1），（2），（3）；

【解析】

试题分析：（1）,

由在上是增函数，则，即，所以的取值范围为．

（2）由题意得对任意的实数，恒成立，即，当恒成立，

即，得，

故只要且在上恒成立即可，

在时，只要的最大值小于且的最小值大于即可，

而当时，，为增函数，；

当时，，为增函数，，所以．

（3）当时，在上是增函数，则关于的方程不可能有三个不等的实数根；

则当时， 由 ，

得在时，对称轴，则在为增函数，

此时的值域为，

在时，对称轴，则在为增函数，

此时的值域为，在为减函数，此时的值域为；

由存在，方程有三个不相等的实根，则，

即存在，使得即可，令，

只要使即可，而在上是增函数，，

故实数的取值范围为；

同理可求当时，的取值范围为；

综上所述，实数的取值范围为．