Question

设函数，其中．

（Ⅰ）求的极大值；

（Ⅱ）当时，若直线与函数在上的图象有交点，求实数的取值范围；

（Ⅲ）当时，试证明：．

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）证明见解析．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）借助题设运用导数求解；（Ⅱ）借助题设条件运用导数的知识求解；（Ⅲ）构造函数运用导数的知识推证即可获解．

试题解析:

（Ⅰ），定义域为，

时，令得，

令得在上单调递增，在上单调递减，

所以极大值=．

（Ⅱ）当时，，

由题意知，直线与函数在上的图象有交点等价于方程在上有实数解

由（I）知，在上单调递增，在上单调递减．

又,

当时，即时，方程有解,

即直线与函数在上的图象有交点．

（Ⅲ）要证

只需证，只需证

设，则

由（I）知在单调递减

即在上是减函数，而

，故原不等式成立

考点：导数在研究函数的单调性极值等方面的综合运用．

【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具．本题就是以函数为背景考查导数运用的典型问题．问题中的参数的设置给本题的解答带来一定的难度,也为能力的考查提供了素材．第一问的解答中直接利用题设中的条件,求出其极大值．第二问中求的范围的问题．解答中先将问题进行等价转化,然后借助函数值的符号建立不等式求出其范围．第三问在求解中也是进行等价转化再运用导数构造函数,通过研究其单调性进行推证．