Question

已知函数．

（1）若，求曲线在点处的切线方程；

（2）若，求在区间 上的最小值；

（3）若函数有两个极值点，求证：.

Answer

（1）；（2）；（3）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）借助题设直接运用导数的几何意义求解；（2）借助题设条件和导数的知识求解；（3）依据题设条件运用导数的知识构造函数进行推证求解.

试题解析:

（1）当时，，所以曲线在点处的切线方程为

（2）当时，在增，最小值为；当时，在减，增，最小值为．

（3），函数有两个相异的极值点，即有两个不同的实数根．

①当时，单调递增，不可能有两个不同的实根；

②当时，设，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

∴，∴，

不妨设，∵，

∴

先证，即证，即证，

令，即证，设，则，函数在单调递减，∴，∴，又，∴，

∴

考点：导数的知识在研究函数的单调性及极值最值中的综合运用．

【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是含参数的函数解析式为背景,考查的是导数知识的综合运用和分析问题解决问题的能力.解答本题的第一问时,这时,求解时先对已知函数进行求导,再将切点横坐标代入求得切线的斜率为,就可以求出切线的方程为；第二问中的可直接运用导数求其最小值;第三问题的证明问题则通过构造函数,运用导数进行分析推证.