Question

已知椭圆右焦点为，为椭圆的上顶点，为坐标原点，且是等腰直角三角形．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过点分别作直线交椭圆于两点，设两直线的斜率分别为，且，证明：直线过定点．

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）要求椭圆标准方程，只要找到两个关于的等式即可，题中焦点告诉我们，是等腰直角三角形，说明，因此易得；（Ⅱ）要证直线过定点，可设出直线的方程，当然可分类讨论，可先讨论当斜率存在时，设方程为，依题意．同时设，由直线方程与椭圆方程联立可得，然后计算，把用代入，并把刚才的代入可得的关系，然后分析直线方程，可得定点．再求出当斜率不存在时的方程，说明此时也过定点即可．

试题解析：（Ⅰ）由是等腰直角三角形，得，

故椭圆方程为．

（Ⅱ）（1）若直线的斜率存在，设方程为，依题意．

设，

由得．

则．

由已知，可得，

所以．所以，整理得．

故直线的方程为，即．

所以直线过定点．

（2）若直线的斜率不存在，设方程为，

设，由已知，得，

此时方程为，显然过点．

综上，直线过定点．

考点：椭圆的标准方程，解析几何中的定点问题．

【名师点睛】解析几何中的定点、定值问题是高考命题的一个热点，也是一个难点．解决这个难点的基本思想是函数思想，定点、定值必然是在变化的过程中所表现出来的不变的量，那么就可以用变量表示问题的直线方程、曲线方程、线段的长度，图形的面积、角度的度数、直线的斜率，某些代数表达式的值，即将要证明或要求解的量表示为某个合适变量的函数，然后化简消去变量即得定值．