Question

下图为某校语言类专业名毕业生的综合测评成绩（百分制）分布直方图，已知分数段的学员数为21人．

（Ⅰ）求该专业毕业总人数和分数段内的人数；

（Ⅱ）现欲将分数段内的6名毕业生分配往甲、乙、丙三所学校，若向学校甲分配两名毕业生，且其中至少有一名男生的概率为，求名毕业生中男、女各几人（男、女人数均至少两人）．

（Ⅲ）在（Ⅱ）的结论下，设随机变量表示名毕业生中分配往乙学校的三名学生中男生的人数，求的分布列和数学期望．

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）男生2人，女生4人；（Ⅲ）分布列见解析，期望为1．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）从频率分布直方图可知分数段的毕业生的频率为，而此分数段人数为21人，因此总人数可得，再由频率分布直方图可得分数段的频率，从而得到此分数段人数；（Ⅱ）至少有一名男生的反面是全是女生，因此可设男生有人，女生有人，则，由此可求得；（Ⅲ）由（Ⅱ）知6人中男生有2人，因此的取值可以为：，由古典概型概率公式可计算出各概率，得分布列，再由期望公式可计算出数学期望．

试题解析：（Ⅰ）分数段的毕业生的频率为，

此分数段的学员总数为21人，所以毕业生的总人数

，

所以分数段内的人数．

（Ⅱ）分数段内共6名毕业生，设其中男生名，则女生名．

设分配往甲校的两名毕业生中至少有一名男毕业生为事件，

则，解得或9（舍去），

即6名毕业生中有男生2人，女生4人．

（Ⅲ）表示名毕业生中分配往甲学校的两名学生中男生的人数，

所以的取值可以为：．

当时，；

当时，；

当时，．

所以的分布列为

0

1

2

所以随机变量的数学期望为．

考点：频率分布直方图，随机变量概率分布列，数学期望．