Question

已知函数，．

（Ⅰ）讨论函数的单调性；

（Ⅱ）若函数有两个零点，求实数的取值范围．

Answer

（Ⅰ）当时，上单调递减；当时，函数在上单调递减，在上单调递增；（Ⅱ）．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）要讨论单调性，首先求得导数，接着研究的正负，为此按的正负分类；（Ⅱ）由（Ⅰ）知符合题意的必须满足，此时，当或时，，因此只要函数的最小值即可满足题意．

试题解析：（Ⅰ）

① 当上单调递减；

② 当.

.

∴函数在上单调递减，在上单调递增

综上：当上单调递减；

当时，函数在上单调递减，在上单调递增

（Ⅱ）当由（Ⅰ）得上单调递减，函数不可能有两个零点；

当a>0时，由（Ⅰ）得，且当x趋近于0和正无穷大时，都趋近于正无穷大，

故若要使函数有两个零点，则的极小值，

即，解得,

综上所述，的取值范围是

考点：函数的单调性，函数的零点．

【名师点睛】求函数的单调区间的“两个”方法

(1)方法一：①确定函数y＝f(x)的定义域；

②求导数y′＝；

③解不等式>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；

④解不等式<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．

(2)方法二：①确定函数y＝f(x)的定义域；

②求导数y′＝，令＝0，解此方程，求出在定义区间内的一切实根；

③把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间；

③ 确定在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性．