Question

已知椭圆上的点到两个焦点的距离之和为，短轴长为，直线与椭圆交于、两点。

（Ⅰ）求椭圆的方程； 

（Ⅱ）若直线与圆相切，证明：为定值．

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）求椭圆标准方程，由椭圆的定义得，由椭圆的性质知，故易得椭圆方程；（Ⅱ）直线与椭圆相交，首选讨论直线斜率不存在的特殊情形，求得，因此在斜率存在时，设直线，交点，要证明，由直线与圆相切求得的关系，由直线方程与椭圆方程联立方程组后可得，然后计算，并把刚才的结论代入可得．

试题解析：（Ⅰ）由题意得

（Ⅱ）当直线轴时，因为直线与圆相切，所以直线方程为。

当时，得M、N两点坐标分别为，

当时，同理；

当与轴不垂直时，

设，由,,

联立得

，，

=

综上，（定值）

考点：椭圆标准方程，直线与椭圆相交，定值问题．

【名师点睛】1．解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值．

2．求定值问题常见的方法有两种：

①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；

②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．