Question

已知函数．

（1）求函数的单调区间；

（2）求证：，不等式恒成立．

Answer

（Ⅰ）时，在上单调递增，时，当时，在单调递减．

在单调递增；（Ⅱ）证明见解析．

【解析】试题分析：（Ⅰ）要讨论单调性，首先求得导数，接着研究的正负，为此按的正负分类；（Ⅱ）要证的不等式，可等价转化为，这样我们可设，进而去求的最小值，由于，由（Ⅰ）的证明知，（在（Ⅰ）中当时的情形），从而得单调性，完成证明．

试题解析：（Ⅰ）的定义域为，

①若，在上单调递增

②若，当时，，在单调递减．

当时，，在单调递增．

（Ⅱ）等价于

令，则

由（Ⅰ）知，当时，，即.

所以，则在上单调递增，所以

即

考点：利用导数研究函数的单调性、极值、最值及分类讨论、转化与化归的数学思想．

【名师点睛】用导数研究函数的单调性有两种方法：

1．确定定义域，求出导数，解不等式确定增区间，解不等式确定减区间；

2．确定定义域，求出导数，解方程，此方程的解把定义域分段，然后列表表示的符号与的单调性．