Question

如图，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，，，，是上的点．

（Ⅰ）求证：平面⊥平面；

（Ⅱ）若是的中点，且二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值．

Answer

（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）要证面面垂直，就要证线面垂直，首选寻找直线垂直，在底面直角梯形中，，可证得，又可得，从而有平面，从而可得面面垂直；（Ⅱ）结合（Ⅰ）的证明，为了求直线与平面所成的角，以为原点，为轴，垂直于的直线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，这样易写出各点坐标，同时设后分别可得，求出平面和平面的法向量，由二面角与法向量夹角的关系求得，由向量和的夹角（或补角）与直线和平面所成的角互余可得结论．

试题解析：（Ⅰ）证明：平面ABCD，平面ABCD，，

，，

，.

又，面，面.

平面，

∵平面，平面平面

（Ⅱ）以为原点，建立空间直角坐标系如图所示，

则C（0，0，0），（1，1，0），（1，－1，0）

设（0，0，）（），则（，，），

，，，

取=（1，－1，0）

则，为面的法向量

设为面的法向量，则，

即，取，，，则，

依题意，，则

于是.

设直线与平面所成角为，则，

即直线与平面所成角的正弦值为

考点：面面垂直的判断，直线与平面所成的角．